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Affixe d’un point. 4.1.2 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe * Le nombre complexe z = a+ib est associ´e au point M =(a,b) du plan muni du rep`ere orthonorm´e direct (O,i,j). Forme trigonométrique Soit un nombre complexe de forme polaire z =[r, θ]. IV– Argument d’un nombre complexe non nul: Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (O;u ; v). L'unité de mesure des angles est le radian. Si et si M est le point d'affixe z, arg(z) est l'angle (ü,OM) et En effet, les nombres complexes et les fractales restent des domaines assez méconnus de tous, alors qu'ils sont au fond incroyables, passionnants ! Proposition 3. a. Déduire de 1) une solution de l’équation (E). Cours Nombres complexes pdf. Cours Nombres complexes pdf : C’est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a+bi, où a et b sont des nombres réel et i un nombre imaginaire tel que i²=-1. Argument : Un argument d’un omplexe ayant pour image un … Cours et exercices en vidéo pour savoir déterminer le module, un argument d'un nombre complexe, une forme exponentielle et trigonométrique, applications en géométrie Racines n 2/ 2 2/ 2 Notion exponentielle Forme trigonométrique d’un complexe non nul Formules d’Euler Formule de Moivre -èmes d’un complexe non nul 2/ 2 . 1.4.1 Représentation polaire d’un NC Soit un nombre complexe (≠0 ), avec , le module et l’argument respectivement. Définition . Module et argument d'un nombre complexe. 3) Image d’un conjugué Remarque : Les images / et /’ de + et +̅sont symétriques par rapport à l'axe des réels. Complément : Module d'un nombre complexe Si alors Si et sont les affixes respectives de deux points A et B, alors est l'affixe du vecteur et Complément : Argument d'un nombre complexe Un nombre complexe a une infinité d'arguments, définis à près : Si est l'un d'entre eux, les autres sont de la forme où . --> le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue, c'est pour cela qu'on conserve la notation avec les deux barres " | x | ". 3. Outil pour calculer la valeur de l'argument d'un nombre complexe. z ∈C*,z=a+bi M est l'image ponctuelle dez. L'argument d'un nombre complexe est donc dé ni à 2kˇprès, avec k2Z. Soit z un nombre complexe, alors z … Tout dépend de la forme du nombre complexe, si le nombre complexe n'est sous aucune forme connue ( algébrique, trigonométrique, exponentielle ) il faut que l'on puisse utiliser les propriétés relatives aux modules sinon il faut se ramener à une des formes : • Opérations arithmétiques (additions, soustractions, multiplica-tions, divisions) • Calcul de réciproques, de racines carrées et du carré d’un nombre complexe • Calcul de la valeur absolue et de l’argument d’un nombre complexe Nombres complexes, Forme algébrique, Opérations sur les nombres complexes, Inverse d’un nombre complexe, Nombre conjugué, Module d’un nombre complexe, Argument d’un nombre complexe, Forme exponentielle d’un nombre complexe, 2 bac inter, sciences mathématiques A et B biof, PDF, Mathématiques, Mathématiques BIOF, baccalauréat international maroc, baccalauréat … La représentation polaire est donnée sous la forme suivante : = , (1.3) Montrer que (1+i) 6=−8i 2. Par exemple si x 2R +, on connaît deux racines carrées : p x, p x. Autre exemple : les racines carrées de 1 sont i et i. On appelle la forme trigonométrique d’un nombre complexe z, l'écriture : = | | (⁡ + ⁡ ()) de ce nombre pour n’importe quelle mesure de l'angle .. Dans cette écriture on retrouve directement le module et un argument (la plupart du temps l'argument principal). Module et argument Les nombres complexes ont d’abord ´et´e utilis´es pour la r´esolution des ´equations alg´ebriques mais d`es la fin du XVIIIe si`ecle ils ont eu une interpr´etation g´eom´etrique. 5.2 Argument d’un nombre complexe Dans un rep`ere orthonormal (O;~u;~v), on consid`ere le point M d’affixe z non nulle. Remarques : . 1. Les nombres complexesModule d’un nombre complexe On appellemoduledu nombre complexe z, le nombreréel: jzj= p z. z = ˘ x2 + y2 É jzj= j zj= j zj, jxj jzj, jyj jzj É jzj= 0, z = 0 É jz.z 0j= jzj.jz0j É jz + z 0j jzj+ jz0j Attention : Ne pas confondremodule d’un nombre complexe avecvaleur absolue. On appelle argument du nombre complexe z l'angle polaire du vecteur image OM associé à z (à 2 kπ près). Nombres complexes Avec les nombres complexes, cette calculatrice réalise les opérations suivantes. ( ) θ= = + π = = ≥ (z) , 2k r z OM ; r 0 Arg Ox OM On note alors le nombre complexe z sous la forme polaire : z =[r, θ] 4. Comment calculer le module d'un nombre complexe ? Racines carrées d’un nombre complexe Pour z 2C, une racine carrée est un nombre complexe!tel que!2 = z. L'argument d'un nombre complexe non nul $ z $ est la valeur (en radians) de l'angle $ \theta $ entre l'abscisse du plan complexe et la droite formée par $ (0;z) $. Interpr´etations g´eom´etriques des nombres complexes. Ce point M est appel´e point image de z et le vecteur OM =(a,b) est appel´e vecteur image de z, tandis que z = a+ib est l’affixe du point M ou du vecteur OM II) Forme trigonométrique d’un nombre complexe Soit V un nombre complexe non nul dont le module est r et un argument est On note : M le point image de V N l’intersection de la demi droite [OM) avec le cercle trigonométrique On a donc : 1 / , , , , , , & L N 1 0 , , , , , , , & A tout vecteur W de coordonnées (x , y) , on associe le nombre complexe z = x + i y.. z s’appelle l’affixe du vecteur W • L’impédance complexe Z d’un dipôle passif est définie par : • Rappels mathématiques sur les nombres complexes : 1) Un nombre complexe Z peut s’écrire sous la forme : F = 1 T F s’exprime en Hertz (Hz) T s’exprime en seconde (s) Ueff = Umax 2 Z = U I Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes suivants √6 √2 1 33 %√3 &%55 √3& 1 3√33 4 1 Exercice 13 Ecrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique √ 1 5 1 √3 1 %1 √3& : 3; Exercice 14 On considère le nombre complexe %√31 & %√3 1&. Figure 1.2 Représentation trigonométrique d’un NC (Z). z est l’affixe du point M on la note z M. Affixe d’un vecteur. Un argument du nombre complexe … L'argument principal d'un complexe est son argument qui appartient à ] ˇ;ˇ]. Argument d'un nombre complexe non nul (O;⃗u,⃗v)est un repère orthonormé direct du plan complexe. A tout nombre complexe z = a + ib on associe le point M b a. z = a + ib ֏ M b a. Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants : 1.Nombre de module 2 et d’argument p=3. A tout point M(x ; y) du plan P on associe le nombre complexe z = x + i y on dit que. Propriété : Cette application est réciproque (bijective). --> le module d'un nombre complexe est un nombre réel positif. Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe non nul 3.1. Remarque 4.6 Interprétation graphique : Sur cet exemple, on peut dire que arg(z) = [2ˇ].On notera également que le module de zcorrespond, sur ce dessin à la longueur OM. Les nombres complexes avec un cours de matsh en terminale S faisant intervenir la notion de conjugué et d'argument. Les coordonnées polaires donnent une manière alternative de représenter un nombre complexe. • Le nombre complexe z = a + i b est appelé l’affixe du point M (a ; b) ou du vecteur OM (a ; b). II. 3 Puissance d’un nombre complexe 6 4 D´etermination d’ensembles de points dans le plan complexe 7 5 Exercices complets type Bac 8 1 Formes alg´ebrique, trigonom´etrique et exponentielle Exercice 1 : Ecrire sous forme alg´egbrique les nombres complexes suivants : 1. z1 = (1+2i)(−2 +i) 2- Arguments d'un nombre complexe non nul Définition : Dans le plan complexe, z est un nombre complexe non nul de point image M. On appelle argument de z et on note arg (z), toute mesure en radians de l'angle orienté: ( ; OM) . Le nombre conjugué d’un omplexe est le nombre complexe égal à . 2.Nombre de module 3 et d’argument p=8. Indication H Correction H Vidéo [000003] Exercice 3 Calculer le module et l’argument de u= p 6 i p 2 2 et v=1 i. On appelle module de +, le nombre réel positif, noté |+|, égal à √)D+*D. --> deux nombres complexes distincts peuvent avoir le même module. On considère l’équation (E) : z2=−8i. 3) Démontrer qu’il existe deux nombres réels α et β que l’on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z, f(z) = (z2 +9)(z2 +αz +β) 4) Résoudre alors dans C, l’équation f(z) = 0 Forme trigonométrique d’un nombre complexe Exercice23 On dit que est défini http://www.mathrix.fr pour d'autres vidéos d'explications comme "Module et Argument d'un Nombre Complexe" en Maths. 1) D eterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 3 z 2 = 4 z 3 = i z 4 = 3i z 5 = 2 + 2i z 6 = 2 2i z 7 = p 3 + 3i 2) Ecrire ces nombres complexes sous forme trigonom etrique et exponentielle. 2.1. 2.2 Représentation des nombres complexes Théorème 1 : A tout nombre complexe z =a +ib, on peut faire correspondre un point M(a;b)dans un plan orthonormal (O, −→ u, −→ v) On dit que z est l’affixe de M. On écrit alors M(z). 2) En déduire que l’équation f(z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution. Argument d’un nombre complexe - D emonstrations de cours - ROC Soit zun nombre complexe non nul. Cette leçon sur les nombres complexe est à télécharger en PDf gratuitement. Module et argument d’un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe +=)+.*. De plus, les fractales sont au coeur de la recherche en mathématique et physique actuelle. 1) … Module d’un nombre complexe Argument d’un nombre complexe non nul. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u ⃗ , v ⃗ ) . • Argument de I ou Arg I représente la phase de i(t) à la date t = 0. Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument /2. b. L’équation (E) possède une autre solution ; écrire …

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